Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session La Réunion J2 2023. Il couvre 3 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Limites de fonctions, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$,
$$u_{n+1} = \frac{6u_n + 2}{u_n + 5}.$$
Calculer $u_1$.
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = \frac{6x+2}{x+5}.$$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = f(u_n)$.
Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$. En déduire que pour tout réel $x > 2$, on a $f(x) > 2$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n > 2$.
On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$u_{n+1} - u_n = \frac{(2 - u_n)(u_n + 1)}{u_n + 5}.$$
Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
On définit la suite $(v_n)$ pour tout entier naturel par :
$$v_n = \frac{u_n - 2}{u_n + 1}.$$
Calculer $v_0$.
Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{4}{7}$.
Déterminer, en justifiant, la limite de $(v_n)$. En déduire la limite de $(u_n)$.
On considère la fonction Python `seuil` ci-contre, où $A$ est un nombre réel strictement plus grand que $2$.
def seuil(A):
n = 0
u = 8
while u > A:
u = (6*u + 2)/(u + 5)
n = n + 1
return n
Donner, sans justification, la valeur renvoyée par la commande `seuil(2.001)` puis interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.