Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session La Réunion J2 2023. Il couvre 3 thèmes : Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités, Probabilités conditionnelles et Bayes. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Un commerçant vend deux types de matelas : matelas RESSORTS et matelas MOUSSE.
On suppose que chaque client achète un seul matelas.
On dispose des informations suivantes :
- 20 % des clients achètent un matelas RESSORTS. Parmi eux, 90 % sont satisfaits de leur achat.
- 82 % des clients sont satisfaits de leur achat.
Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A
On choisit au hasard un client et on note les évènements :
- $R$ : « le client achète un matelas RESSORTS »,
- $S$ : « le client est satisfait de son achat ».
On note $x = P_{\overline{R}}(S)$, où $P_{\overline{R}}(S)$ désigne la probabilité de $S$ sachant que $R$ n'est pas réalisé.
Arbre pondéré décrivant la situation
Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre décrivant la situation.
Démontrer que $x = 0{,}8$.
On choisit un client satisfait de son achat. Quelle est la probabilité qu'il ait acheté un matelas RESSORTS ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$.
Partie B
On choisit 5 clients au hasard. On considère la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces 5 clients. On admet que $X$ suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.
Déterminer la probabilité qu'au plus trois clients soient satisfaits de leur achat. On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
Soit $n$ un entier naturel non nul. On choisit à présent $n$ clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.
On note $p_n$ la probabilité que les $n$ clients soient tous satisfaits de leur achat. Démontrer que $p_n = 0{,}82^n$.
Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $p_n < 0{,}01$. Interpréter dans le contexte de l'exercice.