BAC Spé Maths 2023 — Métropole J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 2023. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = \ln\left(1 + e^{-x}\right),$$
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$.
Courbe $\mathcal{C}$ de $f$, points $M_a$, $N_a$ et tangente $T_0$
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
Interpréter graphiquement ce résultat.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
Calculer $f'(x)$ puis montrer que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x) = \dfrac{-1}{1 + e^x}$.
Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
On note $T_0$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 0.
Déterminer une équation de la tangente $T_0$.
Montrer que la fonction $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
En déduire que, pour tout nombre réel $x$, on a :
$$f(x) \geqslant -\frac{1}{2}x + \ln(2).$$
Pour tout nombre réel $a$ différent de 0, on note $M_a$ et $N_a$ les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $-a$ et $a$.
On a donc : $M_a\left(-a\,;\,f(-a)\right)$ et $N_a\left(a\,;\,f(a)\right)$.
Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x) - f(-x) = -x$.
En déduire que les droites $T_0$ et $(M_a N_a)$ sont parallèles.