BAC Spé Maths 2023 — Métropole J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 2023. Il couvre 4 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère :
- le plan $\mathcal{P}_1$ dont une équation cartésienne est $2x + y - z + 2 = 0$,
- le plan $\mathcal{P}_2$ passant par le point $B(1\,;\,1\,;\,2)$ et dont un vecteur normal est $\vec{n_2} = \begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$.
Donner les coordonnées d'un vecteur $\vec{n_1}$ normal au plan $\mathcal{P}_1$.
On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l'un des plans est orthogonal à un vecteur normal à l'autre plan.
Montrer que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires.
Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_2$.
On note $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est :
$$\begin{cases} x = 0 \\ y = -2 + t \\ z = t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}.$$
Montrer que la droite $\Delta$ est l'intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
On considère le point $A(1\,;\,1\,;\,1)$ et on admet que le point $A$ n'appartient ni à $\mathcal{P}_1$ ni à $\mathcal{P}_2$.
On note $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $\Delta$.
On rappelle que, d'après la question 2.b, la droite $\Delta$ est l'ensemble des points $M_t$ de coordonnées $(0\,;\,-2+t\,;\,t)$, où $t$ désigne un nombre réel quelconque.
Montrer que, pour tout réel $t$, $AM_t = \sqrt{2t^2 - 8t + 11}$.
En déduire que $AH = \sqrt{3}$.
On note $\mathcal{D}_1$ la droite orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$ passant par le point $A$ et $H_1$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}_1$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}_1$.
En déduire que le point $H_1$ a pour coordonnées $\left(-\frac{1}{3}\,;\,\frac{1}{3}\,;\,\frac{5}{3}\right)$.
Soit $H_2$ le projeté orthogonal de $A$ sur le plan $\mathcal{P}_2$.
On admet que $H_2$ a pour coordonnées $\left(\frac{4}{3}\,;\,\frac{2}{3}\,;\,\frac{4}{3}\right)$ et que $H$ a pour coordonnées $(0\,;\,0\,;\,2)$.
Représentation des plans $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$, de la droite $\Delta$ et des points $A$, $H_1$, $H_2$, $H$
Montrer que $AH_1HH_2$ est un rectangle.