Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 2023. Il couvre 4 thèmes : Divers, Limites de fonctions, Python…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Des biologistes étudient l'évolution d'une population d'insectes dans un jardin botanique.
Au début de l'étude la population est de 100 000 insectes.
Pour préserver l'équilibre du milieu naturel le nombre d'insectes ne doit pas dépasser 400 000.
Partie A : Étude d'un premier modèle en laboratoire
L'observation de l'évolution de ces populations d'insectes en laboratoire, en l'absence de tout prédateur, montre que le nombre d'insectes augmente de 60 % chaque mois.
En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l'évolution de la population d'insectes à l'aide d'une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ modélise le nombre d'insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois.
On a donc $u_0 = 0{,}1$.
Justifier que pour tout entier naturel $n$ : $u_n = 0{,}1 \times 1{,}6^n$.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n > 0{,}4$.
Selon ce modèle, l'équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.
Partie B : Étude d'un second modèle
En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation.
Ils modélisent le nombre d'insectes à l'aide de la suite $(v_n)$, définie par :
$$v_0 = 0{,}1 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n,\quad v_{n+1} = 1{,}6v_n - 1{,}6v_n^2,$$
où, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ est le nombre d'insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois.
Déterminer le nombre d'insectes au bout d'un mois.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,\frac{1}{2}\right]$ par
$$f(x) = 1{,}6x - 1{,}6x^2.$$
Résoudre l'équation $f(x) = x$.
Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\,\frac{1}{2}\right]$.
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant \frac{1}{2}$.
Montrer que la suite $(v_n)$ est convergente.
On note $\ell$ la valeur de sa limite. On admet que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$.
Déterminer la valeur de $\ell$.
Selon ce modèle, l'équilibre du milieu naturel sera-t-il préservé ? Justifier la réponse.
On donne ci-contre la fonction seuil, écrite en langage Python.
def seuil(a) :
v=0.1
n=0
while v<a :
v=1.6*v-1.6*v*v
n=n+1
return n
Qu'observe-t-on si on saisit seuil(0.4) ?
Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(0.35).
Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.