BAC Spé Maths 2023 — Métropole-Réunion Septembre
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole-Réunion Septembre 2023. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = (2 - \ln x) \times \ln x,$$
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal et $C'$ la courbe représentative de la fonction $f'$, fonction dérivée de la fonction $f$.
La courbe $C'$ est donnée ci-dessous ainsi que son unique tangente horizontale $(T)$.
Courbe $C'$ représentative de la fonction dérivée $f'$ et sa tangente horizontale $(T)$
Par lecture graphique, avec la précision que permet le tracé ci-dessus, donner le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d'abscisse $1$.
Par lecture graphique, avec la précision que permet le tracé ci-dessus, donner le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.
Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
Calculer $$\lim_{x \to 0} f(x).$$ Interpréter graphiquement ce résultat.
Montrer que la courbe $C$ coupe l'axe des abscisses en deux points exactement dont on précisera les coordonnées.
Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $\left]0\,;\,+\infty\right[$, $$f'(x) = \frac{2(1 - \ln x)}{x}.$$
En déduire, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
On note $f''$ la dérivée seconde de $f$ et on admet que pour tout réel $x$ appartenant à $\left]0\,;\,+\infty\right[$,
$$f''(x) = \frac{2(\ln x - 2)}{x^2}.$$
Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe et préciser les coordonnées du point d'inflexion de la courbe $C$.