Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole-Réunion Septembre 2023. Il couvre 3 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Limites de fonctions, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$$\begin{cases} u_1 = \dfrac{1}{e} \\ u_{n+1} = \dfrac{1}{e}\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)u_n \quad \text{pour tout entier } n \geqslant 1. \end{cases}$$
Calculer les valeurs exactes de $u_2$ et $u_3$. On détaillera les calculs.
On considère une fonction écrite en langage Python qui, pour un entier naturel $n$ donné, affiche le terme $u_n$. Compléter les lignes $L_2$ et $L_4$ de ce programme.
L1 def suite(n):
L2 ..................
L3 for i in range(1, n):
L4 u=..................
L5 return u
On admet que tous les termes de la suite $(u_n)$ sont strictement positifs.
Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $1 + \dfrac{1}{n} \leqslant e$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante.
La suite $(u_n)$ est-elle convergente ? Justifier votre réponse.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul, on a : $u_n = \dfrac{n}{e^n}$.
En déduire, si elle existe, la limite de la suite $(u_n)$.