Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J1 2023. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = 5x^2 + 2x - 2x^2\ln(x).$$
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $0$ est égale à $0$.
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$
$$f''(x) = 4(1 - \ln(x)).$$
En déduire le plus grand intervalle sur lequel la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes.
Dresser le tableau des variations de la fonction $f'$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
(On admettra que $$\lim_{\substack{x \to 0 \\ x>0}} f'(x) = 2$$ et que $$\lim_{x \to +\infty} f'(x) = -\infty.$$)
Montrer que l'équation $f'(x) = 0$ admet dans l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.
En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ ainsi que le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
En utilisant l'égalité $f'(\alpha) = 0$, démontrer que :
$$\ln(\alpha) = \frac{4\alpha + 1}{2\alpha}.$$
En déduire que $f(\alpha) = \alpha^2 + \alpha$.
En déduire un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ du maximum de la fonction $f$.