BAC Spé Maths 2023 Nouvelle-Calédonie J2 — Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie

Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J2 2023. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.

Exercice

On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1 représenté ci-contre.
On note K le milieu du segment [HG].
On se place dans le repère orthonormé $\left(A\,;\,\vec{AD},\vec{AB},\vec{AE}\right)$.

Cube ABCDEFGH avec K milieu de [HG]

Question Q1

Justifier que les points C, F et K définissent un plan.

Question Q2a

Donner, sans justifier, les longueurs KG, GF et GC.

Question Q2b

Calculer l'aire du triangle FGC.

Question Q2c

Calculer le volume du tétraèdre FGCK.

On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par :
$$V = \frac{1}{3}\mathcal{B} \times h,$$
où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.

Question Q3a

On note $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$.
Démontrer que $\vec{n}$ est normal au plan (CFK).

Question Q3b

En déduire qu'une équation cartésienne du plan (CFK) est :
$$x + 2y + z - 3 = 0.$$

Question Q4

On note $\Delta$ la droite passant par le point G et orthogonale au plan (CFK).
Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :
$$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 1 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$

Question Q5a

Soit L le point d'intersection entre la droite $\Delta$ et le plan (CFK).
Déterminer les coordonnées du point L.

Question Q5b

En déduire que $LG = \dfrac{\sqrt{6}}{6}$.

Question Q6

En utilisant la question 2., déterminer la valeur exacte de l'aire du triangle CFK.

BAC Spé Maths 2023 — Nouvelle-Calédonie J2

Corrigé détaillé disponible