BAC Spé Maths 2023 — Nouvelle-Calédonie J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J2 2023. Il porte sur les thèmes Dérivation et étude de fonctions et Fonction exponentielle. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = x\,e^{-x}.$$
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$.
On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
En remarquant que pour tout $x$ dans $\left[0\,;\,+\infty\right[$, on a
$$f(x) = \frac{x}{e^x},$$
démontrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède une asymptote en $+\infty$ dont on donnera une équation.
Démontrer que pour tout réel $x$ appartenant à $\left[0\,;\,+\infty\right[$ :
$$f'(x) = (1 - x)\,e^{-x}.$$
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$, sur lequel on fera figurer les valeurs aux bornes ainsi que la valeur exacte de l'extremum.
Déterminer, sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$, le nombre de solutions de l'équation
$$f(x) = \frac{367}{1000}.$$
On admet que pour tout $x$ appartenant à $\left[0\,;\,+\infty\right[$ :
$$f''(x) = e^{-x}(x - 2).$$
Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$.
Soit $a$ un réel appartenant à $\left[0\,;\,+\infty\right[$ et A le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$.
On note $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ en A.
On note $H_a$ le point d'intersection de la droite $T_a$ et de l'axe des ordonnées.
On note $g(a)$ l'ordonnée de $H_a$.
Situation de la tangente $T_a$ à $\mathcal{C}_f$ en A et du point $H_a$
Démontrer qu'une équation réduite de la tangente $T_a$ est :
$$y = \left[(1 - a)\,e^{-a}\right]x + a^2\,e^{-a}.$$
En déduire l'expression de $g(a)$.
Démontrer que $g(a)$ est maximum lorsque A est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.