BAC Spé Maths 2024 — Amérique du Nord J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J2 2024. Il couvre 3 thèmes : Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Soit $a$ un réel strictement positif.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = a\ln(x).$$
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit $x_0$ un réel strictement supérieur à $1$.
Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses.
Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x) = a\left[x\ln(x) - x\right]$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
En déduire l'aire du domaine bleuté en fonction de $a$ et de $x_0$.
Domaine bleuté entre la courbe C, l'axe des abscisses et la verticale x = x₀
On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M$ d'abscisse $x_0$.
On appelle $A$ le point d'intersection de la tangente $T$ avec l'axe des ordonnées et $B$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées.
Tangente T en M, points A (intersection de T avec l'axe Oy) et B (projeté orthogonal de M sur Oy)
Démontrer que la longueur $AB$ est égale à une constante (c'est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $x_0$) que l'on déterminera.
Le candidat prendra soin d'expliciter sa démarche.