Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J2 2024. Il couvre 3 thèmes : Fonction logarithme népérien, Python, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$ par
$$g(x) = 2x - x^2.$$
Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$.
On considère la suite $(u_n)$ définie par
$$\begin{cases} u_0 = \dfrac{1}{2} \\ u_{n+1} = g(u_n) \end{cases} \quad \text{pour tout entier naturel } n.$$
Calculer $u_1$ et $u_2$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0 < u_n < u_{n+1} < 1$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \ln(1 - u_n)$.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $2$ et préciser son premier terme.
En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$.
En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$ et retrouver la limite déterminée à la question 5.
Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $n$ à partir duquel la suite dépasse $0{,}95$.
def seuil() :
n=0
u=0.5
while u < 0.95 :
n=...
u=...
return n