Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J1 2024. Il couvre 4 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
L'objectif de cet exercice est de déterminer la distance entre deux droites non coplanaires.
Par définition, la distance entre deux droites non coplanaires de l'espace, $(d_1)$ et $(d_2)$, est la longueur du segment $[EF]$, où $E$ et $F$ sont des points appartenant respectivement à $(d_1)$ et à $(d_2)$ tels que la droite $(EF)$ est orthogonale à $(d_1)$ et $(d_2)$.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.
Soit $(d_1)$ la droite passant par $A(1\,;\,2\,;\,-1)$ de vecteur directeur $\vec{u_1} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ et $(d_2)$ la droite dont une représentation paramétrique est :
$$\begin{cases} x = 0 \\ y = 1 + t \\ z = 2 + t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}.$$
Donner une représentation paramétrique de la droite $(d_1)$.
Démontrer que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont non coplanaires.
Soit $\mathscr{P}$ le plan passant par $A$ et dirigé par les vecteurs non colinéaires $\vec{u_1}$ et $\vec{w} = \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$.
Justifier qu'une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est : $-2x + y + 5z + 5 = 0$.
Sans chercher à calculer les coordonnées du point d'intersection, justifier que la droite $(d_2)$ et le plan $\mathscr{P}$ sont sécants.
On note $F$ le point d'intersection de la droite $(d_2)$ et du plan $\mathscr{P}$.
Vérifier que le point $F$ a pour coordonnées $\left(0\,;\,-\dfrac{5}{3}\,;\,-\dfrac{2}{3}\right)$.
Soit $(\delta)$ la droite passant par $F$ et de vecteur directeur $\vec{w}$. On admet que les droites $(\delta)$ et $(d_1)$ sont sécantes en un point $E$ de coordonnées $\left(-\dfrac{2}{3}\,;\,-\dfrac{4}{3}\,;\,-1\right)$.
Justifier que la distance $EF$ est la distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
Calculer la distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$.