BAC Spé Maths 2024 — Amérique du Sud J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J2 2024. Il couvre 4 thèmes : Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités, Probabilités conditionnelles et Bayes…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Voici la répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France :
Source : https://fr.statista.com/statistiques/656036/groupes-sanguins-repartition-rh-france/
A+, O+, B+, A−, O−, AB+, B− et AB− sont les différents groupes sanguins combinés aux rhésus.
Par exemple : A+ est le groupe sanguin A de rhésus +.
Une expérience aléatoire consiste à choisir une personne au hasard dans la population française et à déterminer son groupe sanguin et son rhésus.
Dans l'exercice, on adopte les notations du type :
- $A+$ est l'évènement « la personne est de groupe sanguin A et de rhésus + »
- $A-$ est l'évènement « la personne est de groupe sanguin A et de rhésus − »
- $A$ est l'évènement « la personne est de groupe sanguin A »
Les parties 1 et 2 sont indépendantes.
Partie 1
On note $Rh+$ l'évènement « La personne est de rhésus positif ».
Justifier que la probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à $0{,}849$.
Démontrer à l'aide des données de l'énoncé que $P_{Rh+}(A) = 0{,}450$ à $0{,}001$ près.
Une personne se souvient que son groupe sanguin est AB mais a oublié son rhésus. Quelle est la probabilité que son rhésus soit négatif ? Arrondir le résultat à $0{,}001$ près.
Partie 2
Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $0{,}001$ près.
Un donneur universel de sang est une personne de groupe sanguin O et de rhésus négatif. On rappelle que $6{,}5\%$ de la population française est de groupe O−.
On considère 50 personnes choisies au hasard dans la population française et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de donneurs universels.
Déterminer la probabilité que 8 personnes soient des donneurs universels. Justifier votre réponse.
On considère la fonction ci-dessous nommée `proba` d'argument `k` écrite en langage Python.
def proba(k) :
p=0
for i in range(k+1) :
p = p + binomiale(i,50,0.065)
return p
Cette fonction utilise la fonction `binomiale` d'argument `i`, `n` et `p`, créée pour l'occasion, qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X = i)$ dans le cas où $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
Déterminer la valeur numérique renvoyée par la fonction `proba` lorsqu'on saisit `proba(8)` dans la console Python. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Quel est le nombre minimal de personnes à choisir au hasard dans la population française pour que la probabilité qu'au moins une des personnes choisies soit donneur universel, soit supérieure à $0{,}999$.