Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J2 2024. Il couvre 3 thèmes : Équations différentielles, Limites de fonctions, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Cet exercice contient 5 affirmations.
Pour chaque affirmation, répondre par VRAI ou FAUX en justifiant la réponse.
Toute absence de justification ou justification incorrecte ne sera pas prise en compte dans la notation.
Partie 1
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$$u_0 = 10 \quad \text{et pour tout entier naturel } n, \quad u_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + 2.$$
Affirmation 1 : La suite $(u_n)$ est décroissante minorée par $0$.
Affirmation 2 : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = 0.$$
Affirmation 3 : La suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 3$ est géométrique.
Partie 2
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y' = \frac{3}{2}y + 2$ d'inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
Affirmation 4 : Il existe une fonction constante solution de l'équation différentielle $(E)$.
Dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath}\right)$ on note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ solution de $(E)$ telle que $f(0) = 0$.
Affirmation 5 : La tangente au point d'abscisse $1$ de $\mathscr{C}_f$ a pour coefficient directeur $2e^{\frac{3}{2}}$.