BAC Spé Maths 2024 — Amérique du Sud J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J2 2024. Il couvre 4 thèmes : Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath}\,,\,\vec{k}\right)$.
On considère les trois points $A(3\,;\,0\,;\,0)$, $B(0\,;\,2\,;\,0)$ et $C(0\,;\,0\,;\,2)$.
Tétraèdre OABC avec A(3;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2)
L'objectif de cet exercice est de démontrer la propriété suivante :
« Le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre OABC ».
Partie 1 : Distance du point O au plan (ABC)
Démontrer que le vecteur $\vec{n}(2\,;\,3\,;\,3)$ est normal au plan $(ABC)$.
Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $2x + 3y + 3z - 6 = 0$.
Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par $O$ et de vecteur directeur $\vec{n}$.
On note $H$ le point d'intersection de la droite $d$ et du plan $(ABC)$. Déterminer les coordonnées du point $H$.
En déduire que la distance du point $O$ au plan $(ABC)$ est égale à $\dfrac{3\sqrt{22}}{11}$.
Partie 2 : Démonstration de la propriété
Démontrer que le volume du tétraèdre $OABC$ est égal à $2$.
En déduire que l'aire du triangle $ABC$ est égale à $\sqrt{22}$.
Démontrer que pour le tétraèdre $OABC$, « le carré de l'aire du triangle $ABC$ est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre ».
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac{1}{3}B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.