Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J1 2024. Il couvre 3 thèmes : Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Vecteurs dans l'espace. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.
Les quatre affirmations se placent dans la situation suivante :
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points :
$$A(2\,;\,1\,;\,-1),\quad B(-1\,;\,2\,;\,1)\quad \text{et}\quad C(5\,;\,0\,;\,-3).$$
On note $\mathscr{P}$ le plan d'équation cartésienne :
$$x + 5y - 2z + 3 = 0.$$
On note $\mathscr{D}$ la droite de représentation paramétrique :
$$\begin{cases} x = -t + 3 \\ y = t + 2 \\ z = 2t + 1 \end{cases},\quad t \in \mathbb{R}.$$
Affirmation 1 :
Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan $(OAC)$.
Affirmation 1 : Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan $(OAC)$. Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
Affirmation 2 : Les droites $\mathscr{D}$ et $(AB)$ sont sécantes au point $C$. Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
Affirmation 3 : La droite $\mathscr{D}$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$. Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
Affirmation 4 : Le plan médiateur du segment $[BC]$, noté $Q$, a pour équation cartésienne :
$$3x - y - 2z - 7 = 0.$$
On rappelle que le plan médiateur d'un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.