BAC Spé Maths 2024 — Asie J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J2 2024. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ de l'espace, on considère le plan $(P)$ d'équation :
$$(P) : 2x + 2y - 3z + 1 = 0.$$
On considère les trois points A, B et C de coordonnées :
$$A(1\,;\,0\,;\,1),\quad B(2\,;\,-1\,;\,1) \quad\text{et}\quad C(-4\,;\,-6\,;\,5).$$
Le but de cet exercice est d'étudier le rapport des aires entre un triangle et son projeté orthogonal dans un plan.
Partie A
Pour chacun des points A, B et C, vérifier s'il appartient au plan $(P)$.
Montrer que le point $C'(0\,;\,-2\,;\,-1)$ est le projeté orthogonal du point C sur le plan $(P)$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
On admet l'existence d'un unique point H vérifiant les deux conditions
$$\begin{cases} H \in (AB) \\ (AB) \text{ et } (HC) \text{ sont orthogonales.} \end{cases}$$
Déterminer les coordonnées du point H.
Représentation du triangle ABC et de son projeté dans le plan $(P)$
Partie B
On admet que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{HC}$ sont : $\overrightarrow{HC}\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{2}\\[4pt]-\dfrac{11}{2}\\[4pt]4\end{pmatrix}$.
Calculer la valeur exacte de $\left\|\overrightarrow{HC}\right\|$.
Soit $S$ l'aire du triangle ABC. Déterminer la valeur exacte de $S$.
Partie C
On admet que $HC' = \sqrt{\dfrac{17}{2}}$.
Soit $\alpha = \widehat{CHC'}$. Déterminer la valeur de $\cos(\alpha)$.
a. Montrer que les droites $(C'H)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires.
b. Calculer $S'$ l'aire du triangle $ABC'$, on donnera la valeur exacte.
c. Donner une relation entre $S$, $S'$ et $\cos(\alpha)$.