BAC Spé Maths 2024 — Asie J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J2 2024. Il couvre 5 thèmes : Dénombrement et combinatoire, Dérivation et étude de fonctions, Divers…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Soit $(u_n)$ une suite définie pour tout entier naturel $n$ et vérifiant la relation suivante :
$$\text{pour tout entier naturel } n,\quad \frac{1}{2} < u_n \leqslant \frac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}.$$
Affirmation 1 : $$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{2}$$.
Soit $h$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-4\,;\,4]$.
La représentation graphique $\mathcal{C}_{h'}$ de sa fonction dérivée $h'$ est donnée ci-dessous.
$\mathcal{C}_{h'}$
Affirmation 2 : La fonction $h$ est convexe sur $[-1\,;\,3]$.
Le code d'un immeuble est composé de $4$ chiffres (qui peuvent être identiques) suivis de deux lettres distinctes parmi A, B et C (exemple : 1232BA).
Affirmation 3 : Il existe $20\,634$ codes qui contiennent au moins un $0$.
On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par $f(x) = x\ln x$.
Affirmation 4 : La fonction $f$ est une solution sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ de l'équation différentielle
$$x y' - y = x.$$