Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres Étrangers J1 2024. Il couvre 3 thèmes : Calcul intégral et primitives, Équations différentielles, Fonctions trigonométriques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère l'équation différentielle
$$(E_0) : \quad y' = y$$
où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.
Démontrer que l'unique fonction constante solution de l'équation différentielle $(E_0)$ est la fonction nulle.
Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle $(E_0)$.
On considère l'équation différentielle
$$(E) : \quad y' = y - \cos(x) - 3\sin(x)$$
où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.
La fonction $h$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = 2\cos(x) + \sin(x)$.
On admet qu'elle est dérivable sur $\mathbb{R}$.
Démontrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
Démontrer que : « $f$ est solution de $(E)$ » est équivalent à « $f - h$ est solution de $(E_0)$ ».
En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $g(0) = 0$.
Calculer :
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[-2e^x + \sin(x) + 2\cos(x)\right] dx$$