Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres Étrangers J1 2024. Il couvre 4 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.
On considère :
- les points $A(-2\,;\,0\,;\,2)$, $B(-1\,;\,3\,;\,0)$, $C(1\,;\,-1\,;\,2)$ et $D(0\,;\,0\,;\,3)$.
- la droite $\mathcal{D}_1$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x = t \\ y = 3t \\ z = 3 + 5t \end{cases}$ avec $t \in \mathbb{R}$.
- la droite $\mathcal{D}_2$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x = 1 + 3s \\ y = -1 - 5s \\ z = 2 - 6s \end{cases}$ avec $s \in \mathbb{R}$.
Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est :
$$x + 3y + 5z - 8 = 0$$
En déduire que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
Justifier que la droite $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $D$.
On admet que la droite $\mathcal{D}_2$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $C$.
Démontrer que les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
Arrondir le résultat au centième.