Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Compilation 2024. Il couvre 3 thèmes : Divers, Python, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 8 — Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
On considère la suite $(u_n)$ définie par
$$\begin{cases} u_0 = 0 \text{ et} \\ u_{n+1} = 3u_n + 1 \text{ pour tout entier naturel } n \end{cases}$$
On considère la fonction `calcul` écrite dans le langage Python qui renvoie la valeur de $u_n$.
def calcul(n):
u = 0
for i in range(n):
u = 3 * u + 1
return u
On considère par ailleurs la fonction `liste` écrite dans le langage Python :
def liste(n):
l = []
for i in range(n):
l.append( calcul(i) )
return l
Affirmation 1 : « l'appel `liste(6)` renvoie la liste `[0, 1, 4, 13, 42, 121]`. »
Affirmation 2 : « pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{1}{2} \times 3^n - \dfrac{1}{2}$. »
Affirmation 3 : « pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} - u_n$ est une puissance de 3. »