BAC Spé Maths 2025 — Amérique du Sud J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J1 2025. Il couvre 4 thèmes : Chaînes de Markov, Probabilités, Python…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Un étudiant mange tous les jours au restaurant universitaire. Ce restaurant propose des plats végétariens et des plats non végétariens.
- Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0{,}9$.
- Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat non végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0{,}7$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ l'évènement « l'étudiant a choisi un plat végétarien le $n^e$ jour » et $p_n$ la probabilité de $V_n$.
Le jour de la rentrée, l'étudiant a choisi le plat végétarien. On a donc $p_1 = 1$.
Indiquer la valeur de $p_2$.
Montrer que $p_3 = 0{,}88$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
Sachant que le $3^e$ jour l'étudiant a choisi un plat végétarien, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un plat non végétarien le jour précédent ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$.
Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous :
Arbre pondéré à compléter (transitions entre $V_n$, $\overline{V_n}$, $V_{n+1}$, $\overline{V_{n+1}}$)
Justifier que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $p_{n+1} = 0{,}2p_n + 0{,}7$.
On souhaite disposer de la liste des premiers termes de la suite $(p_n)$ pour $n \geqslant 1$. Pour cela, on utilise une fonction appelée `repas` programmée en langage Python dont on propose trois versions, indiquées ci-dessous.
# Programme 1
def repas(n):
p=1
L=[p]
for k in range(1,n):
p = 0.2*p+0.7
L.append(p)
return(L)
# Programme 2
def repas(n):
p=1
L=[p]
for k in range(1,n+1):
p = 0.2*p+0.7
L.append(p)
return(L)
# Programme 3
def repas(n):
p=1
L=[p]
for k in range(1,n):
p = 0.2*p+0.7
L.append(p+1)
return(L)
Lequel de ces programmes permet d'afficher les $n$ premiers termes de la suite $(p_n)$ ? Aucune justification n'est attendue.
Avec le programme choisi à la question a., donner le résultat affiché pour $n = 5$.
Démontrer par récurrence que, pour tout naturel $n \geqslant 1$, $p_n = 0{,}125 \times 0{,}2^{n-1} + 0{,}875$.
En déduire la limite de la suite $(p_n)$.