Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 2024. Il couvre 4 thèmes : Aires et volumes, Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A : étude de la fonction $f$
La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = x - 2 + \frac{1}{2}\ln x,$$
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$, on note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
1.
Déterminer, en justifiant, les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
Montrer que pour tout $x$ appartenant à $\left]0\,;\,+\infty\right[$, on a : $f'(x) = \dfrac{2x+1}{2x}$.
Étudier le sens de variation de $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Étudier la convexité de $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
2.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet dans $\left]0\,;\,+\infty\right[$ une solution unique qu'on notera $\alpha$ et justifier que $\alpha$ appartient à l'intervalle $\left[1\,;\,2\right]$.
Déterminer le signe de $f(x)$ pour $x \in \left]0\,;\,+\infty\right[$.
Montrer que $\ln(\alpha) = 2(2-\alpha)$.
Partie B : étude de la fonction $g$
La fonction $g$ est définie sur $\left]0\,;\,1\right]$ par :
$$g(x) = -\frac{7}{8}x^2 + x - \frac{1}{4}x^2\ln x.$$
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\left]0\,;\,1\right]$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.
Calculer $g'(x)$ pour $x \in \left]0\,;\,1\right]$ puis vérifier que $g'(x) = x\,f\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
2.
Justifier que pour $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0\,;\,\dfrac{1}{\alpha}\right[$, on a $f\!\left(\dfrac{1}{x}\right) > 0$.
On admet le tableau de signes suivant :
Tableau de signes de $f\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$
En déduire le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,1\right]$. Les images et les limites ne sont pas demandées.
Partie C : un calcul d'aire.
On a représenté sur le graphique ci-dessous :
- La courbe $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$ ;
- La parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y = -\dfrac{7}{8}x^2 + x$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,1\right]$.
Courbes $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{P}$ avec la zone hachurée représentant l'aire $\mathcal{A}$
On souhaite calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré compris entre les courbes $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{P}$, et les droites d'équations $x = \dfrac{1}{\alpha}$ et $x = 1$.
On rappelle que $\ln(\alpha) = 2(2-\alpha)$.
1.
Justifier la position relative des courbes $C_g$ et $\mathcal{P}$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,1\right]$.
Démontrer l'égalité :
$$\int_{\frac{1}{\alpha}}^{1} x^2 \ln x \, \mathrm{d}x = \frac{-\alpha^3 - 6\alpha + 13}{9\alpha^3}$$
En déduire l'expression en fonction de $\alpha$ de l'aire $\mathcal{A}$.