Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 2024. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.
On considère les points $A(5\,;\,5\,;\,0)$, $B(0\,;\,5\,;\,0)$, $C(0\,;\,0\,;\,10)$ et $D\!\left(0\,;\,0\,;\,-\dfrac{5}{2}\right)$.
Représentation du tétraèdre $ABCH$ avec les points $A$, $B$, $C$, $D$, $H$, $O$
1.
Montrer que $\vec{n_1}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(CAD)$.
En déduire que le plan $(CAD)$ a pour équation cartésienne : $x - y = 0$.
2. On considère la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x = \dfrac{5}{2}t \\ y = 5 - \dfrac{5}{2}t \\ z = 0 \end{cases}$ où $t \in \mathbb{R}$.
On admet que la droite $\mathcal{D}$ et le plan $(CAD)$ sont sécants en un point $H$. Justifier que les coordonnées de $H$ sont $\left(\dfrac{5}{2}\,;\,\dfrac{5}{2}\,;\,0\right)$.
Démontrer que le point $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $(CAD)$.
3.
Démontrer que le triangle $ABH$ est rectangle en $H$.
En déduire que l'aire du triangle $ABH$ est égale à $\dfrac{25}{4}$.
4.
Démontrer que $(CO)$ est la hauteur du tétraèdre $ABCH$ issue de $C$.
En déduire le volume du tétraèdre $ABCH$.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : $V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
On admet que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Déduire des questions précédentes la distance du point $H$ au plan $(ABC)$.