BAC Spé Maths 2024 — Métropole J2 Septembre
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 Septembre 2024. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous.
Les points $I$ et $J$ sont les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[CG]$.
Le point $N$ est le milieu du segment $[IJ]$.
L'objectif de cet exercice est de calculer le volume du tétraèdre $HFIJ$.
On se place dans le repère orthonormé $\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$.
Cube ABCDEFGH avec les points I, J et N
1.
Donner les coordonnées des points $I$ et $J$. En déduire les coordonnées de $N$.
Justifier que les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{NF}$ ont pour coordonnées respectives :
$$\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}0{,}5\\1\\0{,}5\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{NF}\begin{pmatrix}0{,}25\\-0{,}5\\0{,}75\end{pmatrix}$$
Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{NF}$ sont orthogonaux.
On admet que $NF = \dfrac{\sqrt{14}}{4}$.
En déduire que l'aire du triangle $FIJ$ est égale à $\dfrac{\sqrt{21}}{8}$.
2. On considère le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}$.
Démontrer que le vecteur $\vec{u}$ est normal au plan $(FIJ)$.
En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est : $4x - y - 2z - 2 = 0$.
On note $d$ la droite orthogonale au plan $(FIJ)$ passant par le point $H$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
Montrer que la distance du point $H$ au plan $(FIJ)$ est égale à $\dfrac{5\sqrt{21}}{21}$.
On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule $V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la longueur de la hauteur relative à cette base.
Calculer le volume du tétraèdre $HFIJ$. On donnera la réponse sous la forme d'une fraction irréductible.