BAC Spé Maths 2024 — Polynésie Septembre
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie Septembre 2024. Il couvre 4 thèmes : Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Produit scalaire…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère un cube $ABCDEFGH$ et l'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}\right)$.
Pour tout réel $m$ appartenant à l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$, on considère les points $K$ et $L$ de coordonnées :
$$K(m\,;\,0\,;\,0) \quad \text{et} \quad L(1-m\,;\,1\,;\,1).$$
Cube ABCDEFGH avec les points K et L
Donner les coordonnées des points $E$ et $C$ dans ce repère.
2. Dans cette question, $m = 0$. Ainsi, le point $L(1\,;\,1\,;\,1)$ est confondu avec le point $G$, le point $K(0\,;\,0\,;\,0)$ est confondu avec le point $A$ et le plan $(LEK)$ est donc le plan $(GEA)$.
Justifier que le vecteur $\overrightarrow{DB}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ est normal au plan $(GEA)$.
Déterminer une équation cartésienne du plan $(GEA)$.
On s'intéresse désormais à la nature de $CKEL$ en fonction du paramètre $m$.
3. Dans cette question, $m$ est un réel quelconque de l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$.
Démontrer que $CKEL$ est un parallélogramme.
Justifier que $\overrightarrow{KC} \cdot \overrightarrow{KE} = m(m-1)$.
Démontrer que $CKEL$ est un rectangle si, et seulement si, $m = 0$ ou $m = 1$.
4. Dans cette question, $m = \dfrac{1}{2}$. Ainsi, $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}\,;\,1\,;\,1\right)$ et $K$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,0\right)$.
Démontrer que le parallélogramme $CKEL$ est alors un losange.
À l'aide de la question 3. b., déterminer une valeur approchée au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{CKE}$.