BAC Spé Maths 2024 — Polynésie Septembre
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie Septembre 2024. Il porte sur les thèmes Algorithmique et programmation Python et Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère une pyramide à base carrée formée de boules identiques empilées les unes sur les autres :
- le 1er étage, situé au niveau le plus haut, est composé de 1 boule ;
- le 2e étage, niveau juste en dessous, est composé de 4 boules ;
- le 3e étage possède 9 boules ;
- ... ;
- le $n$-ième étage possède $n^2$ boules.
Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $u_n$ le nombre de boules qui composent le $n$-ième étage en partant du haut de la pyramide. Ainsi, $u_n = n^2$.
Calculer le nombre total de boules d'une pyramide de 4 étages.
On considère la suite $(S_n)$ définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par
$$S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_n.$$
Calculer $S_5$ et interpréter ce résultat.
On considère la fonction `pyramide` ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python.
Recopier et compléter sur la copie le cadre ci-dessous de sorte que, pour tout entier naturel non nul $n$, l'instruction `pyramide(n)` renvoie le nombre de boules composant une pyramide de $n$ étages.
def pyramide(n) :
S = 0
for i in range(1, n+1) :
S = ...
return ...
Vérifier que pour tout entier naturel $n$ :
$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)(n+2)\left[2(n+1)+1\right]}{6}$$
Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 1$ :
$$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$
Un marchand souhaite disposer des oranges en pyramide à base carrée. Il possède 200 oranges. Combien d'oranges utilise-t-il pour construire la plus grande pyramide possible ?