BAC Spé Maths 2024 — Polynésie Septembre
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie Septembre 2024. Il couvre 4 thèmes : Calcul intégral et primitives, Équations différentielles, Fonction exponentielle…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = e^x + x.$$
Affirmation A : La fonction $f$ admet pour tableau de variations le tableau ci-dessous :
Tableau de variations de f
Affirmation B : L'équation $f(x) = -2$ admet deux solutions dans $\mathbb{R}$.
Affirmation C :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x) - x^2 + 2}{3x^2} = -\frac{1}{3}.$$
3. On considère la fonction $k$ définie et continue sur $\mathbb{R}$ par
$$k(x) = 1 + 2e^{-x^2+1}.$$
Affirmation D : Il existe une primitive de la fonction $k$ décroissante sur $\mathbb{R}$.
4. On considère l'équation différentielle
$$(E) : 3y' + y = 1.$$
Affirmation E : La fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$$g(x) = 4e^{-\frac{1}{3}x} + 1$$
est solution de l'équation différentielle $(E)$ avec $g(0) = 5$.
Affirmation F : Une intégration par parties permet d'obtenir :
$$\int_0^1 x e^{-x}\,dx = 1 - 2e^{-1}.$$