Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J1 2025. Il porte sur les thèmes Algorithmique et programmation Python et Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0 = 2$ et pour tout entier naturel $n$, par :
$$u_{n+1} = \frac{2u_n + 1}{u_n + 2}$$
On admet que la suite $(u_n)$ est bien définie.
Calculer le terme $u_1$.
On définit la suite $(a_n)$ pour tout entier naturel $n$, par :
$$a_n = \frac{u_n}{u_n - 1}$$
On admet que la suite $(a_n)$ est bien définie.
Calculer $a_0$ et $a_1$.
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 3a_n - 1$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$,
$$a_n \geqslant 3n - 1$$
En déduire la limite de la suite $(a_n)$.
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{a_n}{a_n - 1}$.
En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
On admet que la suite $(u_n)$ est décroissante.
On considère le programme suivant écrit en langage Python :
def algo(p):
u=2
n=0
while u-1>p:
u=(2*u+1)/(u+2)
n=n+1
return (n,u)
Interpréter les valeurs $n$ et $u$ renvoyées par l'appel de la fonction $\texttt{algo(p)}$ dans le contexte de l'exercice.
Donner, sans justifier, la valeur de $n$ pour $p = 0{,}001$.