Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J1 2025. Il couvre 4 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.
On considère la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est :
$$\begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = -1 \\ z = 2 - 6t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$
On considère également les points suivants :
- $A(3\,;\,-3\,;\,-2)$
- $B(5\,;\,-4\,;\,-1)$
- $C$ le point de la droite $(d)$ d'abscisse $2$
- $H$ le projeté orthogonal du point $B$ sur le plan $\mathscr{P}$ d'équation $x + 3z - 7 = 0$
Affirmation 1 : La droite $(d)$ et l'axe des ordonnées sont deux droites non coplanaires.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
Affirmation 2 : Le plan passant par $A$ et orthogonal à la droite $(d)$ a pour équation cartésienne :
$$x + 3z + 3 = 0$$
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
Affirmation 3 : Une mesure, exprimée en radian, de l'angle géométrique $\widehat{BAC}$ est $\dfrac{\pi}{6}$.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
Affirmation 4 : La distance $BH$ est égale à $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.