BAC Spé Maths 2025 — Amérique du Nord J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J1 2025. Il couvre 4 thèmes : Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions, Équations différentielles…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A
On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, les courbes $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$, représentations graphiques de deux fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. L'une des deux fonctions représentées est la fonction dérivée de l'autre. On les notera $g$ et $g'$.
On précise également que :
- La courbe $\mathscr{C}_1$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0\,;\,1)$.
- La courbe $\mathscr{C}_2$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0\,;\,2)$ et l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(-2\,;\,0)$ et $(1\,;\,0)$.
Courbes $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$ représentant $g$ et $g'$
En justifiant, associer à chacune des fonctions $g$ et $g'$ sa représentation graphique.
Justifier que l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse $0$ est $y = 2x + 1$.
Partie B
On considère $(E)$ l'équation différentielle
$$y + y' = (2x+3)e^{-x},$$
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$.
Montrer que la fonction $f_0$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f_0(x) = \left(x^2 + 3x\right)e^{-x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
Résoudre l'équation différentielle $(E_0)$ : $y + y' = 0$.
Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
On admet que la fonction $g$ décrite dans la partie A est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
Déterminer alors l'expression de la fonction $g$.
Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion.
Partie C
On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par :
$$f(x) = \left(x^2 + 3x + 2\right)e^{-x}$$
Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à $0$.
On admet par ailleurs que la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ est égale à $+\infty$.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Vérifier que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x) = \left(-x^2 - x + 1\right)e^{-x}$.
Déterminer le signe de la fonction dérivée $f'$ sur $\mathbb{R}$ puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
Expliquer pourquoi la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$.
On notera $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$. On admet que la fonction $F$ définie pour tout nombre réel $x$ par
$$F(x) = \left(-x^2 - 5x - 7\right)e^{-x}$$
est une primitive de la fonction $f$.
Soit $\alpha$ un nombre réel positif.
Déterminer l'aire $\mathscr{A}(\alpha)$, exprimée en unité d'aire, du domaine du plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}_f$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \alpha$.