BAC Spé Maths 2025 — Amérique du Nord J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J2 2025. Il couvre 4 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Un des objectifs de cet exercice est de déterminer une approximation du nombre réel $\ln(2)$, en utilisant une des méthodes du mathématicien anglais Henry Briggs au XVI$^{\text{e}}$ siècle.
On désigne par $(u_n)$ la suite définie par :
$$u_0 = 2 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n,\quad u_{n+1} = \sqrt{u_n}$$
Partie A
Donner la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$.
Émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
Résoudre dans l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$ l'équation $\sqrt{x} = x$.
Déterminer, en justifiant, la limite de la suite $(u_n)$.
Partie B
On désigne par $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \ln(u_n)$.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $\ln(2) = 2^n \ln(u_n)$.
On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $\ln$ et la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.
Une équation de la droite $T$ est $y = x - 1$.
Les points $A_0, A_1, A_2$ ont pour abscisses respectives $u_0$, $u_1$ et $u_2$ et pour ordonnée $0$.
Courbe C de la fonction ln et tangente T en x=1, avec les points A0, A1, A2
On décide de prendre $x - 1$ comme approximation de $\ln(x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]0{,}99\,;\,1{,}01\right[$.
Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier naturel $k$ tel que $u_k$ appartienne à l'intervalle $\left]0{,}99\,;\,1{,}01\right[$ et donner une valeur approchée de $u_k$ à $10^{-5}$ près.
En déduire une approximation de $\ln(u_k)$.
Déduire des questions 1. c. et 2. b. de la partie B une approximation de $\ln(2)$.
On généralise la méthode précédente à tout réel $a$ strictement supérieur à $1$.
Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que l'appel `Briggs(a)` renvoie une approximation de $\ln(a)$.
On rappelle que l'instruction en langage Python `sqrt(a)` correspond à $\sqrt{a}$.
from math import*
def Briggs(a):
n = 0
while a >= 1.01:
a = sqrt(a)
n = n+1
L =...
return L