Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J2 2025. Il couvre 4 thèmes : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
L'entraineur d'une équipe de basket décide d'étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu'à l'entrainement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de $0{,}32$.
Lors d'un entrainement, Victor effectue une série de $15$ lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants.
On note $N$ la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués.
Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.
On admet que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement $4$ paniers lors de cette série.
Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus $6$ paniers lors de cette série.
Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $N$.
On note $T$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués après cette série de lancers.
Exprimer $T$ en fonction de $N$.
En déduire l'espérance de la variable aléatoire $T$. Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l'exercice.
Calculer $P(12 \leqslant T \leqslant 18)$.
Partie B
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match.
On admet que l'espérance $E(X) = 22$ et la variance $V(X) = 65$.
Victor joue $n$ matchs, où $n$ est un nombre entier strictement positif.
On note $X_1, X_2, \ldots, X_n$ les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des $1^{\text{er}}, 2^{\text{e}}, \ldots, n$-ième matchs. On admet que les variables aléatoires $X_1, X_2, \ldots, X_n$ sont indépendantes et suivent la même loi que celle de $X$.
On pose $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}$.
Dans cette question, on prend $n = 50$.
Que représente la variable aléatoire $M_{50}$ ?
Déterminer l'espérance et la variance de $M_{50}$.
Démontrer que $P\left(\left|M_{50} - 22\right| \geqslant 3\right) \leqslant \dfrac{13}{90}$.
En déduire que la probabilité de l'évènement $« \, 19 < M_{50} < 25 \, »$ est strictement supérieure à $0{,}85$.
Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse :
$« $ Il n'existe aucun entier naturel $n$ tel que $P\left(\left|M_n - 22\right| \geqslant 3\right) < 0{,}01$ $ »$