Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres Étrangers J2 2025. Il couvre 4 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Divers, Limites de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On se propose de comparer l'évolution d'une population animale dans deux milieux distincts A et B.
Au $1^{\text{er}}$ janvier 2025, on introduit $6\,000$ individus dans chacun des milieux A et B.
Partie A
Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu A.
On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 6$ et de raison $0{,}93$.
Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente la population au $1^{\text{er}}$ janvier de l'année $2025+n$, exprimée en millier d'individus.
Donner, selon ce modèle, la population au $1^{\text{er}}$ janvier 2026.
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Partie B
Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu B.
On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par la suite $(v_n)$ définie par
$$v_0 = 6 \quad \text{et pour tout entier naturel } n,\quad v_{n+1} = -0{,}05v_n^2 + 1{,}1v_n.$$
Pour tout entier naturel $n$, $v_n$ représente la population au $1^{\text{er}}$ janvier de l'année $2025+n$, exprimée en millier d'individus.
Donner, selon ce modèle, la population au $1^{\text{er}}$ janvier 2026.
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = -0{,}05x^2 + 1{,}1x.$$
Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\,11\right]$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a
$$2 \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n \leqslant 6.$$
En déduire que la suite $(v_n)$ est convergente vers une limite $\ell$.
Justifier que la limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$ puis en déduire la valeur de $\ell$.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Partie C
Cette partie a pour but de comparer l'évolution de la population dans les deux milieux.
En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu A sera strictement inférieure à $3\,000$ individus.
À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu B sera strictement inférieure à $3\,000$ individus.
Justifier qu'à partir d'une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A.
On considère le programme Python ci-contre.
n=0
u = 6
v = 6
while ... :
u = ...
v= ...
n = n+1
print (2025 + n)
Recopier et compléter ce programme afin qu'après exécution, il affiche l'année à partir de laquelle la population du milieu B est strictement supérieure à la population du milieu A.
Déterminer l'année affichée après exécution du programme.