BAC Spé Maths 2025 — Centres Étrangers J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres Étrangers J2 2025. Il couvre 4 thèmes : Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = \frac{1}{a + e^{-bx}}$$
où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles strictement positives.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$.
La fonction $f$ admet pour représentation graphique la courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous :
$\mathcal{C}_f$
On considère les points $A(0\,;\,0{,}5)$ et $B(10\,;\,1)$.
On admet que la droite $(AB)$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$.
Par lecture graphique, donner une valeur approchée de $f(10)$.
On admet que $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1.$$
Donner une interprétation graphique de ce résultat.
Justifier que $a = 1$.
Déterminer le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $x$ et de la constante $b$.
En déduire la valeur de $b$.
Partie B
On admet, dans la suite de l'exercice, que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = \frac{1}{1+e^{-0{,}2x}}$$
Déterminer $$\lim_{x \to +\infty} f(x).$$
Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$.
Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ positif tel que $f(\alpha) = 0{,}97$.
À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement du réel $\alpha$ par deux nombres entiers consécutifs.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
Partie C
Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$,
$$f(x) = \frac{e^{0{,}2x}}{1+e^{0{,}2x}}.$$
En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$.
Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0\,;\,40\right]$, c'est-à-dire :
$$I = \frac{1}{40} \int_0^{40} \frac{1}{1+e^{-0{,}2x}}\,\mathrm{d}x.$$
On donnera la valeur exacte et une valeur approchée au millième.