BAC Spé Maths 2025 — Métropole J1 Septembre
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 Septembre 2025. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 2
On considère le cube $ABCDEFGH$.
On place le point $M$ tel que $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB}$.
Cube ABCDEFGH avec le point M tel que $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB}$
Partie A
Montrer que les droites $(FG)$ et $(FM)$ sont perpendiculaires.
Montrer que les points $A$, $M$, $G$ et $H$ sont coplanaires.
Partie B
On se place dans le repère orthonormé $\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}\right)$.
Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{GM}$ et $\overrightarrow{AH}$ et montrer qu'ils ne sont pas colinéaires.
Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(GM)$ est :
$$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 - t \end{cases} \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.$$
On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(AH)$ est :
$$\begin{cases} x = 0 \\ y = k \\ z = k \end{cases} \quad \text{avec } k \in \mathbb{R}.$$
Montrer que le point d'intersection de $(GM)$ et $(AH)$, que l'on nommera $N$, a pour coordonnées $(0\,;\,2\,;\,2)$.
Montrer que le triangle $AMN$ est un triangle rectangle en $A$.
Calculer l'aire de ce triangle.
Soit $J$ le centre de la face $BCGF$.
Déterminer les coordonnées du point $J$.
Montrer que le vecteur $\overrightarrow{FJ}$ est un vecteur normal au plan $(AMN)$.
Montrer que $J$ appartient au plan $(AMN)$. En déduire qu'il est le projeté orthogonal du point $F$ sur le plan $(AMN)$.
On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre ou d'une pyramide est donné par la formule :
$$\mathcal{V} = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h,$$
$\mathcal{B}$ étant l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
Montrer que le volume du tétraèdre $AMNF$ est le double du volume de la pyramide $BCGFM$.