Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 Septembre 2025. Il couvre 4 thèmes : Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions, Divers…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 1
Partie A
On considère l'équation différentielle
$$(E) \quad y' + 0{,}4y = e^{-0{,}4t}$$
où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$.
On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ qui sont solutions de cette équation.
Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $u(t) = t\,e^{-0{,}4t}$.
Vérifier que $u$ est solution de $(E)$.
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
On note $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(t) = f(t) - u(t)$.
Soit $(H)$ l'équation différentielle $y' + 0{,}4y = 0$.
Démontrer que si la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(H)$ alors la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
On admettra que la réciproque est vraie.
Résoudre l'équation différentielle $(H)$.
En déduire les solutions de $(E)$.
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0) = 1$.
Partie B
On s'intéresse à la glycémie chez une personne venant de prendre un repas.
La glycémie en $\mathrm{g.L^{-1}}$, en fonction du temps $t$, exprimé en heure, écoulé depuis la fin du repas, est modélisée par la fonction $f$ définie sur $\left[0\,;\,6\right]$ par :
$$f(t) = (t+1)\,e^{-0{,}4t}.$$
Montrer que, pour tout $t \in \left[0\,;\,6\right]$, $f'(t) = (-0{,}4t + 0{,}6)\,e^{-0{,}4t}$.
Étudier les variations de $f$ sur $\left[0\,;\,6\right]$ puis dresser son tableau de variations sur cet intervalle.
Une personne est en hypoglycémie lorsque sa glycémie est inférieure à $0{,}7\,\mathrm{g.L^{-1}}$.
Démontrer que sur l'intervalle $\left[0\,;\,6\right]$ l'équation $f(t) = 0{,}7$ admet une unique solution que l'on notera $\alpha$.
Au bout de combien de temps après avoir pris son repas cette personne est-elle en hypoglycémie ?
On exprimera ce temps à la minute près.
On souhaite déterminer la glycémie moyenne en $\mathrm{g.L^{-1}}$ chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas.
À l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
$$\int_0^6 f(t)\,dt = -23{,}75\,e^{-2{,}4} + 8{,}75.$$
Calculer la glycémie moyenne en $\mathrm{g.L^{-1}}$ chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas.
En remarquant que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$, expliquer comment on aurait pu obtenir ce résultat autrement.