BAC Spé Maths 2025 — Nouvelle-Calédonie J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J2 2025. Il couvre 3 thèmes : Calcul intégral et primitives, Probabilités, Variables aléatoires · espérance et variance. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans le repère orthonormé $(O\,;\,I,\,J)$ ci-contre, on a représenté :
- la droite d'équation $y = x$ ;
- la droite d'équation $y = 1$ ;
- la droite d'équation $x = 1$ ;
- la parabole d'équation $y = x^2$.
On peut ainsi partager le carré $OIKJ$ en trois zones.
Carré $OIKJ$ partagé en trois zones par la droite $y=x$ et la parabole $y=x^2$
Les parties B et C peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.
Partie A
Démontrer les résultats figurant dans le tableau ci-dessous.
| ZONE | ZONE 1 | ZONE 2 | ZONE 3 |
|---|---|---|---|
| AIRE | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{3}$ | $\dfrac{1}{6}$ |
Partie B : un premier jeu
Un joueur lance une fléchette sur le carré ci-dessus. On admet que la probabilité qu'elle tombe sur une zone est égale à l'aire de cette zone. Ainsi, la probabilité que la fléchette tombe sur la ZONE 3 est égale à $\dfrac{1}{6}$.
- Si la fléchette tombe sur la ZONE 3, alors le joueur lance une pièce équilibrée. Si la pièce tombe sur PILE, alors le joueur gagne, sinon il perd.
- Si la fléchette tombe sur une autre zone que la ZONE 3, alors le joueur lance un dé équilibré à six faces. Si le dé tombe sur la FACE 6, alors le joueur gagne, sinon il perd.
On note les évènements suivants :
$T$ : « la fléchette tombe sur la ZONE 3 » ;
$G$ : « le joueur gagne ».
Représenter la situation par un arbre pondéré.
Démontrer que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $\dfrac{2}{9}$.
On sait que le joueur a gagné. Quelle est la probabilité que la fléchette soit tombée sur la ZONE 3 ?
Partie C : un second jeu
Un joueur, appelé joueur $n^{\circ}1$, lance une fléchette sur le carré précédent. Comme dans la partie B, on admet que la probabilité que la fléchette tombe sur chacune des zones est égale à l'aire de cette zone.
Le joueur gagne une somme égale, en euros, au numéro de la zone. Par exemple, si la fléchette tombe sur la ZONE 3, le joueur gagne 3 euros.
On note $X_1$ la variable aléatoire donnant le gain du joueur $n^{\circ}1$.
On note respectivement $E(X_1)$ et $V(X_1)$ l'espérance et la variance de la variable aléatoire $X_1$.
Calculer $E(X_1)$.
Montrer que $V(X_1) = \dfrac{5}{9}$.
Un joueur $n^{\circ}2$ et un joueur $n^{\circ}3$ jouent à leur tour, dans les mêmes conditions que le joueur $n^{\circ}1$. On admet que les parties de ces trois joueurs sont indépendantes les unes des autres.
On note $X_2$ et $X_3$ les variables aléatoires donnant les gains des joueurs $n^{\circ}2$ et $n^{\circ}3$. On note $Y$ la variable aléatoire définie par $Y = X_1 + X_2 + X_3$.
Déterminer la probabilité que l'on ait $Y = 9$.
Calculer $E(Y)$.
Justifier que $V(Y) = \dfrac{5}{3}$.