Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J2 2025. Il couvre 3 thèmes : Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par :
$$f(x) = \ln\left(e^{\frac{x}{2}}+2\right)$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \ln(9)$ et, pour tout entier naturel $n$,
$$u_{n+1} = f(u_n)$$
Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Montrer que $f(2\ln(2)) = 2\ln(2)$.
Montrer que $u_1 = \ln(5)$.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a :
$$2\ln(2) \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$$
En déduire que la suite $(u_n)$ converge.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $X^2 - X - 2 = 0$.
En déduire l'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation :
$$e^x - e^{\frac{x}{2}} - 2 = 0$$
En déduire l'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation $f(x) = x$.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.