BAC Spé Maths 2025 — Polynésie J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J1 2025. Il couvre 4 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Deux avions sont en approche d'un aéroport.
On munit l'espace d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ dont l'origine $O$ est le pied de la tour de contrôle, et le sol est le plan $P_0$ d'équation $z = 0$.
L'unité des axes correspond à 1 km.
On modélise les avions par des points.
Représentation des trajectoires des avions Alpha (droite $d_A$) et Bêta (droite $d_B$) dans l'espace
L'avion Alpha transmet à la tour sa position en $A(-7\,;\,1\,;\,7)$ et sa trajectoire est dirigée par le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}$.
L'avion Bêta transmet une trajectoire définie par la droite $d_B$ passant par le point $B$ dont une représentation paramétrique est :
$$\begin{cases} x = -11 + 5t \\ y = -5 + t \\ z = 11 - 4t \end{cases} \quad \text{où } t \text{ décrit } \mathbb{R}$$
S'il ne dévie pas de sa trajectoire, déterminer les coordonnées du point $S$ en lequel l'avion Bêta touchera le sol.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d_A$ caractérisant la trajectoire de l'avion Alpha.
Les deux avions peuvent-ils entrer en collision ?
Démontrer que l'avion Alpha passe par la position $E(-3\,;\,-1\,;\,1)$.
Justifier qu'une équation cartésienne du plan $P_E$ passant par $E$ et perpendiculaire à la droite $d_A$ est :
$$2x - y - 3z + 8 = 0.$$
Vérifier que le point $F(-1\,;\,-3\,;\,3)$ est le point d'intersection du plan $P_E$ et de la droite $d_B$.
Calculer la valeur exacte de la distance $EF$, puis vérifier que cela correspond à une distance de 3 464 m, à 1 m près.
La réglementation aérienne stipule que deux avions en approche doivent être à tout instant à au moins 3 milles nautiques l'un de l'autre (1 mille nautique vaut 1 852 m).
Si les avions Alpha et Bêta sont respectivement en $E$ et $F$ au même instant, leur distance de sécurité est-elle respectée ?