Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 Septembre 2025. Il couvre 4 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$.
On considère les points
$$A(4\,;\,-1\,;\,3),\quad B(-1\,;\,1\,;\,-2),\quad C(0\,;\,4\,;\,5) \quad\text{et}\quad D(-3\,;\,-4\,;\,6).$$
Vérifier que les points $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés.
On admet qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $29x + 30y - 17z = 35$.
Les points $A$, $B$, $C$, $D$ sont-ils coplanaires ? Justifier.
On admet que lorsque quatre points ne sont pas coplanaires, il existe un unique point situé à égale distance de ces quatre points.
L'objectif de cet exercice est de déterminer le point $H$ se situant à égale distance des quatre points $A$, $B$, $C$, $D$.
On définit le plan médiateur d'un segment comme le plan passant par le milieu de ce segment et orthogonal à la droite portant ce segment. C'est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.
Soit $P_1$ le plan médiateur du segment $[AB]$.
Déterminer les coordonnées du milieu du segment $[AB]$.
En déduire qu'une équation cartésienne de $P_1$ est : $5x - 2y + 5z = 10$.
On note $P_2$ le plan médiateur du segment $[CD]$.
Soit $M$ un point du plan $P_2$ de coordonnées $(x\,;\,y\,;\,z)$.
Exprimer $MC^2$ et $MD^2$ en fonction des coordonnées de $M$.
En déduire qu'une équation cartésienne du plan $P_2$ est : $-3x - 8y + z = 10$.
Justifier que les plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants.
Soit $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est :
$$\begin{cases} x = -2 - 1{,}9t \\ y = t \\ z = 4 + 2{,}3t \end{cases} \quad\text{où } t \in \mathbb{R}$$
Démontrer que $\Delta$ est la droite d'intersection de $P_1$ et $P_2$.
On note $P_3$ le plan médiateur du segment $[AC]$.
On admet qu'une équation cartésienne du plan $P_3$ est : $8x - 10y - 4z = -15$.
Démontrer que la droite $\Delta$ et le plan $P_3$ sont sécants.
Justifier que le point d'intersection entre $\Delta$ et $P_3$ est le point $H$.