BAC Spé Maths 2024 — Compilation 2024
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Compilation 2024. Il couvre 4 thèmes : Analyse graphique, Calcul intégral et primitives, Python…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 2 — L'exercice est constitué de deux parties indépendantes.
Partie I
Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on désigne par $f_n$ la fonction définie sur $\left[0\,;\,1\right]$ par :
$$f_n(x) = x^n e^x$$
On note $C_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère $\left(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}\right)$ du plan.
On désigne par $(I_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 par :
$$I_n = \int_0^1 x^n e^x\,dx$$
a. On désigne par $F_1$ la fonction définie sur $\left[0\,;\,1\right]$ par :
$$F_1(x) = (x-1)e^x$$
Vérifier que $F_1$ est une primitive de la fonction $f_1$.
b. Calculer $I_1$.
À l'aide d'une intégration par parties, établir la relation pour tout $n$ supérieur ou égal à 1,
$$I_{n+1} = e - (n+1)I_n$$
Calculer $I_2$.
On considère la fonction `mystere` écrite dans le langage Python :
from math import e # la constante d'Euler e
def mystere(n):
a = 1
L = [a]
for i in range(1,n):
a = e - (i + 1)*a
L.append(a)
return L
À l'aide des questions précédentes, expliquer ce que renvoie l'appel `mystere(5)`.
Partie II
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes $C_1, C_2, C_3, C_{10}, C_{20}$ et $C_{30}$.
a. Donner une interprétation graphique de $I_n$.
b. Quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $(I_n)$ ?
Montrer que pour tout $n$ supérieur ou égal à 1,
$$0 \leq I_n \leq e\int_0^1 x^n\,dx$$
En déduire $$\lim_{n \to +\infty} I_n$$