BAC Spé Maths 2024 — Compilation 2024
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Compilation 2024. Il couvre 4 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Divers, Fonction logarithme népérien…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 7 — On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par
$$f_k(x) = x + ke^{-x}$$
où $k$ est un réel strictement positif.
On s'intéresse dans cette question au cas $k = 0{,}5$, donc à la fonction $f_{0,5}$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f_{0,5}(x) = x + 0{,}5e^{-x}$$
Montrer que la dérivée de $f_{0,5}$, notée $f'_{0,5}$, vérifie $f'_{0,5}(x) = 1 - 0{,}5e^{-x}$.
Montrer que la fonction $f_{0,5}$ admet un minimum en $\ln(0{,}5)$.
Soit $k$ un réel strictement positif. On donne le tableau de variations de la fonction $f_k$.
Montrer que pour tout réel positif $k$, $f_k(\ln k) = \ln k + 1$.
On note $\mathscr{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d'un repère orthonormé.
On note $A_k$ le point de la courbe $\mathscr{C}_k$ d'abscisse $\ln k$.
On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathscr{C}_k$ pour différentes valeurs de $k$.
Indiquer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse. Justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Affirmation : « Pour tout réel $k$ strictement positif, les points $A_{0,5}$, $A_1$ et $A_k$ sont alignés. »