Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J2 2025. Il couvre 4 thèmes : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 1
Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près en cas de besoin.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l'une de l'autre.
Partie A
Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d'échec lors du premier service, servir une deuxième balle.
En match, Abel réussit son premier service dans 70 % des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans 80 % des cas.
En revanche, après un échec à son premier service, Abel gagne le point dans 45 % des cas.
Abel est au service.
On considère les évènements suivants :
- $S$ : « Abel réussit son premier service »
- $G$ : « Abel gagne le point ».
Décrire l'évènement $\bar{S}$ puis traduire la situation par un arbre pondéré.
Calculer $P(S \cap G)$.
Justifier que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $0{,}695$.
Abel a gagné le point. Quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service ?
Les évènements $S$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.
Partie B
À la sortie d'une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans 85 % des cas.
On teste successivement 20 balles. On considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les 20 testées.
Quelle est la loi suivie par $X$ et quels sont ses paramètres ? Justifier.
Calculer $P(X \leqslant 18)$.
Quelle est la probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les 20 balles testées ?
Déterminer l'espérance de $X$.
On teste maintenant $n$ balles successivement. On considère les $n$ tests comme un échantillon de $n$ variables aléatoires $X$ indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}85$.
On considère la variable aléatoire
$$M_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{X_i}{n} = \frac{X_1}{n} + \frac{X_2}{n} + \frac{X_3}{n} + \ldots + \frac{X_n}{n}$$
Déterminer l'espérance et la variance de $M_n$.
Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier naturel $n$,
$$P(0{,}75 < M_n < 0{,}95) \geqslant 1 - \frac{12{,}75}{n}.$$
En déduire un entier $n$ tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille $n$ appartienne à l'intervalle $\left]0{,}75\,;\,0{,}95\right[$ avec une probabilité supérieure à $0{,}9$.