Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J2 2025. Il couvre 3 thèmes : Dénombrement et combinatoire, Géométrie dans l'espace, Vecteurs dans l'espace. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$ et le point $I$ défini par $\vec{FI} = \frac{1}{3}\vec{FB}$.
On pourra se placer dans le repère orthonormé de l'espace $\left(A\,;\,\vec{AB},\,\vec{AD},\,\vec{AE}\right)$.
Cube $ABCDEFGH$ avec le point $I$ tel que $\vec{FI} = \frac{1}{3}\vec{FB}$
1. On considère le triangle $HAC$.
Affirmation 1 : Le triangle $HAC$ est un triangle rectangle.
2. On considère les droites $(HF)$ et $(DI)$.
Affirmation 2 : Les droites $(HF)$ et $(DI)$ sont sécantes.
3. On considère un réel $\alpha$ appartenant à l'intervalle $\left]0\,;\,\pi\right[$.
On considère le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}\sin(\alpha)\\\sin(\pi-\alpha)\\\sin(-\alpha)\end{pmatrix}$.
Affirmation 3 : Le vecteur $\vec{u}$ est un vecteur normal au plan $(FAC)$.
4. Le cube $ABCDEFGH$ possède $8$ sommets. On s'intéresse au nombre $N$ de segments que l'on peut construire en reliant $2$ sommets distincts quelconques du cube.
Affirmation 4 : $N = \dfrac{8^2}{2}$.