BAC Spé Maths 2025 — Nouvelle-Calédonie J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J2 2025. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien, Optimisation. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2+1}$$
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$. En déduire les éventuelles asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_f$.
Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$, on a :
$$f'(x) = \frac{1-2\ln(x)}{x^3}$$
En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Donner un encadrement du réel $\alpha$ d'amplitude $0{,}01$.
En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$g(x) = \ln(x)$$
On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé d'origine $O$. On considère un réel $x$ strictement positif et le point $M$ de la courbe $C_g$ d'abscisse $x$. On note $OM$ la distance entre les points $O$ et $M$.
Exprimer la quantité $OM^2$ en fonction du réel $x$.
Montrer que, lorsque le réel $x$ parcourt l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$, la quantité $OM^2$ admet un minimum en $\alpha$.
La valeur minimale de la distance $OM$, lorsque le réel $x$ parcourt l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$, est appelée distance du point $O$ à la courbe $\mathcal{C}_g$. On note $d$ cette distance.
Exprimer $d$ à l'aide de $\alpha$.