Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 2025. Il couvre 4 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
On munit l'espace d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.
1. On considère les points $A(-1\,;\,0\,;\,5)$ et $B(3\,;\,2\,;\,-1)$.
Affirmation 1 : Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est
$$\begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 3t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}.$$
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Affirmation 2 : Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\-2\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(OAB)$.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
2. On considère :
- la droite $d$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x = 15 + k \\ y = 8 - k \\ z = -6 + 2k \end{cases}$ avec $k \in \mathbb{R}$ ;
- la droite $d'$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x = 1 + 4s \\ y = 2 + 4s \\ z = 1 - 6s \end{cases}$ avec $s \in \mathbb{R}$.
Affirmation 3 : Les droites $d$ et $d'$ ne sont pas coplanaires.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
3. On considère le plan $\mathscr{P}$ d'équation $x - y + z + 1 = 0$.
Affirmation 4 : La distance du point $C(2\,;\,-1\,;\,2)$ au plan $\mathscr{P}$ est égale à $2\sqrt{3}$.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?