Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres Étrangers J1 2024. Il couvre 5 thèmes : Fonction exponentielle, Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$ par
$$f(x) = 2xe^{-x}$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$.
Résoudre sur l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$ l'équation $f(x) = x$.
Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$,
$$f'(x) = 2(1-x)e^{-x}$$
Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0{,}1$ et pour tout entier naturel $n$,
$$u_{n+1} = f(u_n)$$
Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel,
$$0 \leqslant u_n < u_{n+1} \leqslant 1$$
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
Démontrer que la limite de la suite $(u_n)$ est $\ln(2)$.
Justifier que pour tout entier naturel $n$, $\ln(2) - u_n$ est positif.
On souhaite écrire un script Python qui renvoie une valeur approchée de $\ln(2)$ par défaut à $10^{-4}$ près, ainsi que le nombre d'étapes pour y parvenir.
Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu'il réponde au problème posé.
def seuil() :
n = 0
u = 0.1
while ln(2) - u ... 0.0001 :
n = n + 1
u = ...
return (u, n)
Donner la valeur de la variable $n$ renvoyée par la fonction `seuil()`.