BAC Spé Maths 2024 — Métropole J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 2024. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien, Optimisation. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ et sa tangente $T$ au point $B$ d'abscisse $-1$.
On précise que la droite $T$ passe par le point $A(0\,;\,-1)$.
Courbe $\mathcal{C}_f$ et tangente $T$ au point $B$ d'abscisse $-1$
Partie A : exploitation du graphique.
À l'aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.
Préciser $f(-1)$ et $f'(-1)$.
La fonction $f$ est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier.
Conjecturer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ et donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ près d'une solution.
Partie B : étude de la fonction $f$
On considère que la fonction $f$ est définie sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = x^2 + 2x - 1 + \ln(x+2),$$
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
Déterminer par le calcul la limite de la fonction $f$ en $-2$. Interpréter graphiquement ce résultat.
On admet que $$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$.
Montrer que pour tout $x > -2$, $f'(x) = \dfrac{2x^2 + 6x + 5}{x+2}$.
Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$ puis dresser son tableau de variations complet.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$ et donner une valeur arrondie de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
En déduire le signe de $f(x)$ sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$.
Montrer que $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion et déterminer son abscisse.
Partie C : une distance minimale.
Soit $g$ la fonction définie sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$ par $g(x) = \ln(x+2)$.
On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\,;\,I,\,J)$, représentée ci-après.
Soit $M$ un point de $\mathcal{C}_g$ d'abscisse $x$.
Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de $x$ la distance $JM$ est minimale.
On considère la fonction $h$ définie sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$ par $h(x) = JM^2$.
Courbe $\mathcal{C}_g$ avec le point $M$ d'abscisse $x$ et le point $J$
Justifier que pour tout $x > -2$, on a : $h(x) = x^2 + \left[\ln(x+2) - 1\right]^2$.
On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$ et on note $h'$ sa fonction dérivée.
On admet également que pour tout réel $x > -2$,
$$h'(x) = \frac{2f(x)}{x+2}$$
où $f$ est la fonction étudiée en partie B.
Dresser le tableau de variations de $h$ sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$.
Les limites ne sont pas demandées.
En déduire que la valeur de $x$ pour laquelle la distance $JM$ est minimale est $\alpha$ où $\alpha$ est le nombre réel défini à la question 4. de la partie B.
On notera $M_\alpha$ le point de $\mathcal{C}_g$ d'abscisse $\alpha$.
Montrer que $\ln(\alpha+2) = 1 - 2\alpha - \alpha^2$.
En déduire que la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point $M_\alpha$ et la droite $(JM_\alpha)$ sont perpendiculaires.
On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$.